Mecanismo de Peaucellier
El mecanismo de Peaucellier, ideado en 1873 por el capitán de ingenieros del ejército francés Charles Nicholas Peaucellier, permite hacer que un punto del mismo describa arcos de radio arbitrario cuando otro de de sus puntos es obligado a describir un arco de circunferencia adecuado. Su aplicación más extendida consiste en hacer que un punto describa de forma exacta un segmento (no de forma aproximada como en el paralelogramo de Watt, diseñado unos cien años antes). Cuando Lord Kelvin contempló el mecanismo, se dice que comentó que era la cosa más bonita que había visto nunca(!).

El mecanismo se representa en en el applet superior donde puede acelerar el movimiento con la barra derecha, pararlo con el botón inferior y moverlo con la barra izquierda. La línea vertical derecha (en gris) contiene la trayectoria del punto.
En realidad, el sistema hace que si un punto D describe una curva, otro punto del mecanismo, el C, describe su curva inversa respecto a un punto O, con una constante de inversión igual a a2-b2, siendo a,b las longitudes de los dos tipos de barras utilizadas en la construcción del mecanismo. A continuación se procede al análisis geométrico del mecanismo.

El sistema está formado por 6 barras, según muestra la figura; dos de ellas, la OA y la OB son de longitud a y están articuladas a un punto fijo O que será el polo de la transformación inversa. Las cuatro barras forman un rombo articulado ACBD unido en A y B a las dos barras anteriores. Al aplicar el teorema del seno al triángulo OAC, se tiene
a sen a = b sen b (1)
y llamando d,d' a las longitudes OC,OD, se puede escribir
d= a cos a + b cos b
d'= a cos a - b cos b
de donde
dd' = a2 cos2 a - b2 cos2 b = a2-b2 - a2 sen2a + b2 sen2b
que, teniendo en cuenta (1) proporciona la relación de inversión
dd' = a2-b2
Es bien sabido que la relación de inversión transforma circunferencias que pasan por el polo en rectas perpendiculares a la recta que une centro y polo, y que a su vez, las rectas que no pasan por el polo se transforman en circunferencias que sí lo hacen (circunferencias que no pasan por el polo se transforman en otras que tampoco lo hacen). Por ejemplo, si D describe un arco de circunferencia de radio R (en trazo discontinuo en la figura), entonces
d' = 2R cos g
donde g es el ángulo polar desde OO', la coordenada xc según dicho eje de C será
xc= d cos g = a2-b2 /R
que, al ser constante indica que C se mueve sobre la recta indicada en trazo discontinuo en la figura.
Mecanismo de línea recta de Peaucellier
[Sistema][ ]
Es un mecanismo de línea recta inventado por Peaucellier (1832-1913) en 1867. Utiliza la simetría de dos mecanismos de 4 barras para conseguir un trazo exactamente rectilíneo. En este mecanismo coexisten dos mecanismos de 4 barras: el mecanismo [O2-A-B-O4] y el [O2-A-C-O4]. Ambos poseen las mismas longitudes de barras y solamente se diferencian en que están montados en distinta configuración. Así, es seguro que los puntos B y C son simétricos respecto del eje que pasa por A y O4. Posteriormente se añadió una diada (es decir, dos barras articuladas) en B y C obteniendo el punto D que traza una trayectoria perfectamente rectilínea.
Las proporciones de este mecanismo son: [O4-C] = [O4-B]; AB = BD = DC = CA
Mecanismo de línea recta de Peaucellier


Este mecanismo fue inventado por Peaucellier en 1867. Utiliza la simetría de dos mecanismos de 4 barras para conseguir un trazo exactamente rectilíneo. En este mecanismo coexisten dos mecanismos de 4 barras: el mecanismo [O2-A-B-O4] y el [O2-A-C-O4]. Ambos poseen las mismas longitudes de barras y solamente se diferencian en que están montados en distinta configuración. Así, es seguro que los puntos B y C son simétricos respecto del eje que pasa por A y O4. Posteriormente se añadió una diada (es decir, dos barras articuladas) en B y C obteniendo el punto D que traza una trayectoria perfectamente rectilínea.
Las proporciones de este mecanismo son: [O4-C] = [O4-B]; AB = BD = DC = CA



En 1864, ochenta años después del descubrimiento de Watt, Ch. Peaucellier,
un oficial de ingenieros de la armada francesa, fue el primero en diseñar un mecanismo
que trazaba exactamente una línea recta. Su descubrimiento no fue de
principio considerado en su verdadero valor, cayendo casi en el olvido, y fue redescubierto,
10 años después, por un estudiante ruso llamado Lipkin alumno de
Chebyshev, quién obtuvo un sustancial premio del gobierno Ruso por su supuesta
originalidad. Sin embargo más tarde Peaucellier tuvo su recompensa siendo reconocido
y premiado con el gran premio de Mecánica del Instituto de Francia, el
premio Montyon.
Es un mecanismo que sirve para construir mecánicamente la figura inversa de
una línea dada. Tiene como vemos siete piezas o eslabones. Hay primeramente
dos grandes piezas de igual longitud, pivotados en el mismo punto fijo O.
Sus otros extremos están pivotados a ángulos
opuestos de un rombo formado por cuatro
piezas iguales de longitud menor que los
anteriores. La porción del instrumento hasta
ahora descrita es lo que se llama celda de
Peaucellier. Ahora tomemos un eslabón extra
y pivotémoslo por un lado, a un punto fijo
cuya distancia del primer punto fijo donde
la celda esté pivotada sea igual a su longitud,
por el otro, a uno de los vértices libres
del rombo teniendo en el ultimo vértice libre
Q un lápiz. Al girar P este lápiz describirá
exactamente una línea recta.


Mecanismo de Peaucellier