Levas

Una leva es un elemento que impulsa, por contacto directo, a otro elemento denominado seguidor de forma que éste último realice un movimiento alternativo concreto. Aunque existen muchos tipos de mecanismos de leva, uno de los más comunes es el mecanismo de leva con seguidor de rodillo que se presenta a continuación.

Pese a que tanto la leva como el seguidor pueden disfrutar de un movimiento de rotación o de traslación, el caso más habitual es que la leva gire mientras que el seguidor se desplaza. En este tipo de mecanismo, el objetivo es relacionar de forma precisa la rotación de la leva (cuya posición viene definida por el ángulo de leva "q") con el movimiento del seguidor (cuya posición viene definida por la elevación "y" del mismo). Así, el punto de partida para el diseño de una leva es lo que se conoce con el nombre de diagrama de elevación, que representa con precisión la elevación del seguidor para cada posición angular de la leva. Este diagrama constituye la representación gráfica de la función y(q), variando q entre 0º y 360º.

Hay que decir, que la elevación y se mide siempre respecto de la posición más baja del seguidor. Es decir, en la posición más baja se cumple siempre que y = 0. Aparte de los conceptos definidos hasta ahora, hay otros de especial importancia en el diseño de un mecanismo leva seguidor. Todos estos conceptos pueden ser comprobados en la figura siguiente.

• Rodillo: Para evitar el rozamiento que se produciría entre la leva y el seguidor si éstos contactaran directamente, se introduce entre ambos un rodillo que cambia el tipo de contacto a rodadura pura (en condiciones ideales). El rodillo está articulado al seguidor en su extremo y rueda sobre la leva (ver figura a continuación).

• Punto de trazo: Al incluir el rodillo, el seguidor no contacta directamente con la leva, sino que contacta con el rodillo y éste con la leva. El punto de trazo es el punto del seguidor alrededor del cual gira el rodillo. Es, por tanto, el punto extremo del seguidor que estaría en contacto con la leva si no hubiese rodillo (ver figura a continuación).
  

• Curva primitiva: Es la curva que definiría el perfil de la leva si no hubiese rodillo. Es, también, la curva por la que pasa el punto de trazo al moverse la leva. De hecho, durante el diseño de la leva, partiendo del diagrama de elevación se obtiene la curva primitiva (o primera forma de la leva). Posteriormente, esta curva se reduce en una cantidad igual al radio del rodillo que se desea colocar (ver figura a continuación).

• Círculo primario: Es el menor círculo que se puede dibujar centrado en el centro de rotación de la leva y tocando la curva primitiva. Así, el círculo primario toca punto de trazo sólo cuando el seguidor se encuentra en la posición más baja posible. El tamaño del círculo primario debe decidirse en el momento de comenzar a diseñar la leva y su magnitud influye sobre el tamaño final de la leva, como se verá más adelante.

En la siguiente figura puede observarse el movimiento de la leva y su relación con el diagrama de elevación. En él, la flecha azul sobre la leva constituye una referencia que indica la rotación de la misma. El movimiento puede accionarse automáticamente pulsando el botón "Mov. Auto" o bien manualmente arrastrando con el ratón el cuadrado situado en el extremo de la flecha azul. Durante el movimiento, verificar:

• que el sistema leva-seguidor cumple perfectamente con el diagrama de elevación mostrado, ya que la leva se ha diseñado para ello,
• que el punto de trazo sigue siempre la curva primitiva,
• que el punto de trazo toca el círculo primario solamente cuando el seguidor está en su posición más baja y
• que el perfil de la leva dista de la curva primitiva, en todos los puntos, una distancia igual al radio del rodillo.

Excentricidad

En ocasciones resulta interesante desplazar el seguidor de forma que su dirección de deslizamiento no pase por el centro de rotación de la leva. En este caso, se dice que el seguidor es excéntrico y se llama excentricidad a la distancia desde el centro de rotación de la leva a la dirección de deslizamiento del seguidor. La circunferencia centrada en el centro de rotación de la leva y tangente a la dirección de deslizamiento del seguidor se denomina circunferencia de excentricidad.

Nótese por comparacíon de la figura siguiente con la anterior que, sin cambiar el diagrama de elevación ni ningún otro parámetro de diseño de la leva, al dotar al seguidor de cierta excentricidad la forma de la leva cambia (y no solo cambia su orientación) llegando a ser asimétrica pese a la simetría del diagrama de elevación. También cambian otros factores importantes, como el ángulo de presión, que se estudiará más adelante.

Pausa del seguidor

En ocasiones, los mecanismos de leva son seleccionados porque proporcionan en el seguidor un movimiento intermitente (difícil de conseguir con mecanismos de barras). Así, el movimiento del seguidor es tal que durante un tiempo permanece detenido (pausa ) pero posee movimiento el resto del tiempo. En la siguiente figura se muestra sistema leva-seguidor con pausa en la mínima elevación. Obsérvese la pausa en el diagrama de elevación y cómo ésta se encuentra en la posición más baja del seguidor. Obsérvese también durante el movimiento de la leva que el tramo de perfil de leva que produce la pausa en el seguidor es un arco de circunferencia centrado en el centro de rotación de la leva.

Los mecanismos leva-seguidor se pueden diseñar también para poseer más de una pausa. En el ejemplo mostrado a continuación, el seguidor cuenta con dos pausas, una en la elevació máxima y otra en la elevación mínima. Obsérvese cómo una pausa de seguidor corresponde siempre en la leva giratoria con un arco de circunferencia centrado en el centro de rotación de la misma.

Ángulo de presión

El ángulo de presión es un parámetro fundamental en el comportamiento dinámico de las levas. Se define como el ángulo que forman dos rectas: la línea de deslizamiento del seguidor y la recta normal a las dos superficies (leva y rodillo) en el punto de contacto.

Dos curvas (o superficies) que contactan en un punto poseen siempre una tangente común en el punto de contacto. La recta normal es, precisamente, la perpendicular a la tangente en dicho punto. En todo contacto sin rozamiento, las fuerzas que se transmiten desde una curva (o superficie) a la otra a través del contacto tienen siempre la dirección de la normal. Por este motivo, cuando la leva empuja al seguidor hacia arriba no lo hace siempre mediante una fuerza vertical, sino que lo hace mediante una fuerza que sigue la dirección de la normal. Dicha fuerza tendrá una componente vertical que es útil para el movimiento, pero también tendrá una componente horizontal (inútil) que tiende a deformar el seguidor por flexión y que incrementa el rozamiento en el par de deslizamiento del seguidor. Si el ángulo de presión es grande, para una misma componente vertical (útil), la componente horizontal (inútil) será grande.

El problema es que el ángulo de presión depende de la posición de la leva (no es constante todo el tiempo) y, para que el sistema tenga un buen comportamiento dinámico, se intenta siempre que el ángulo de presión máximo no supere cierto valor (alrededor de los 30º). Dicho valor máximo dependerá del tamaño de la leva, como se verá más adelante.

En la siguiente animación se observa el gráfico de variación del ángulo de presión en función del ángulo que ha girado la leva.

Influencia del tamaño del círculo primario

El radio del círculo primario es, junto con otros, un parámetro de diseño que debe ser decidido antes de comenzar a diseñar la leva. Su valor influye fundamentalmente en dos importantes aspectos: el tamaño de la leva y el ángulo de presión.

Cuando el círculo primario crece, el tamaño de la leva crece. Desde este punto de vista, es recomendable emplear círculos primarios pequeños ya que de esta forma se consiguen mecanismos leva-seguidor compactos.

Sin embargo, al disminuir el radio del círculo primario, los ángulos de presión crecen, lo que aumenta la componente de la fuerza de contacto que es perpendicular al seguidor (y que es, por tanto, inútil). Esta componente perpendicular genera problemas importantes por lo que su valor debe mantenerse bajo (en general se considera aceptable por debajo de 30º). Así, desde el punto de vista de ángulo de presión, el círculo primario debería ser lo más grande posible.

La solución final será un compromiso entre obtener un diseño compacto y mantener ángulos de presión suficientemente bajos.

La animación siguiente muestra la influencia del tamaño del círculo primario en el sistema leva-seguidor. En ella se muestra la gráfica del diagrama de elevación y también la gráfica de evolución del ángulo de presión. Nótese que, sin cambiar ningún otro parámetro del sistema, el ángulo de presión crece al variar el tamaño del círculo primario (puede realizarse mediante la barra de desplazamiento) en cualquier posición (salvo las de reposo del seguidor).

Influencia de la excentricidad

La excentricidad es otro parámetro de partida en el diseño de sistemas leva-seguidor. Su valor no puede ser mayor el radio del círculo primario ya que, si así fuera, habría al menos una posición en la que el seguidor caería por falta de contacto con la leva.

La excentricidad influye sobre todo en el ángulo de presión. Sin embargo, no modifica la forma de la gráfica de variación del ángulo de presión, sino que solamente la desplaza verticalmente. Así, la excentricidad puede hacer que disminuya el ángulo de presión en unas zonas del diagrama de elevación a costa de aumentar en otras zonas. Además, la excentricidad hace que el ángulo de presión deje de ser nulo cuando el seguidor está en pausa.

En la práctica, el seguidor se suele mantener en contacto con la leva por la acción de un muelle que lo presiona contra la leva. Por eso, habitualmente la fuerza de contacto es mayor durante el ascenso del seguidor (en el que la leva ha de vencer la fuerza del muelle) que en el descenso (en el que la acción del muelle ayuda a que la leva siga girando, contribuyendo a la continuación del movimiento). Por este motivo, es más importante obtener un ángulo de presión menor durante el ascenso. Así, a muchos mecanismos leva-seguidor se les suele proporcionar una pequeña excentricidad destinada a disminuir el ángulo de presión durante el ascenso aunque éste crezca durante el descenso.

En la animación siguiente se puede observar la influencia de la excentricidad en el ángulo de presión. Obsérvese cómo varía la gráfica del ángulo de presión al variar la excentricidad (mediante la barra de desplazamiento). Trátese de dotar al mecanismo de una cierta excentricidad destinada a disminuir un poco el ángulo de presión máximo durante el ascenso. Obsérvese cómo efectivamente el ángulo de presión crece durante el descenso. Obsérvese también que al dotar al mecanismo de cierta excentricidad, el ángulo de presión deja de ser nulo cuando el seguidor está en pausa.

Influencia del tamaño del rodillo

El tamaño del rodillo solamente influye en el tamaño relativo del rodillo y de la leva. No influye en el ángulo de presión, por lo que no es un parámetro fundamental desde el punto de vista de comportamiento dinámico del sistema.

En la animación siguiente puede observarse la influencia del tamaño del rodillo, variando su radio mediante la barra de desplazamiento. Obsérvese que ni la curva primitiva ni la gráfica de variación del ángulo de presión cambian.

Sin embargo, para cada leva (definida por su diagrama de elevación, por el radio del círculo primario y por la excentricidad) existe un tamaño máximo de rodillo. Por encima de este tamaño máximo, el perfil de leva degenera y solamente es posible en teoría (en la práctica no es construible). Así, el tamaño del rodillo debe mantenerse en un tamaño suficientemente pequeño para que no se produzca degeneración en el perfil de la leva ni éste presente picos (el radio de rodillo máximo admisible depende del radio de curvatura mínimo de la curva primitiva).

En la siguiente animación se muestra cómo el perfil de la leva puede llegar a degenerar al aumentar mucho el radio del rodillo.

Problema de despegue en levas

Uno de los problemas principales de algunos mecanismos leva- seguidor es el problema de despegue del seguidor debido a los efectos dinámicos del movimiento. En muchos casos, el contacto entre la leva y el seguidor se consigue mediante un resorte (o muelle) que presiona el seguidor contra la leva, tal como muestra la figura siguiente. Durante el ascenso el seguidor sufre una primera fase de aceleración y luego otra de deceleración. Debido a su inercia el seguidor tendrá a seguir subiendo al final de la subida (despegándose de la leva) y es el muelle el encargado de oponerse a esta tendencia, asegurando el contacto con la leva. Así, pues, el problema tiene tres variables fundamentales.

• Masa del seguidor: cuanto más pesado sea el seguidor, mayor será su inercia y, por tanto, mayor será la tendencia de éste a despegarse al final de la subida.
• Rigidez del muelle: cuanto mayor sea la rigidez del muelle, más fuerza ejerce éste sobre el seguidor para que no se separe de la leva, por lo que la tendencia al despegue será menor.
• Velocidad de la leva: cuanto mayor sea la velocidad de la leva, la aceleración y deceleración del seguidor durante la subida será también mayor (el seguidor sube en menos tiempo) y, por tanto, la inercia del mismo será mayor, por lo que la tendencia a despegarse también será mayor.

En conclusión, para que no haya despegue, cuanto mayor sea la velocidad de operación de la leva, menos masa deberá tener el seguidor y mayor deberá ser la rigidez del muelle. El problema es que, aligerar el seguidor puede tener un efecto negativo en su resistencia, y aumentar la rigidez del muelle implica aumentar mucho las fuerza de contacto, por lo que el movimiento de la leva sufrirá una irregularidad mayor ya que durante la subida la gran fuerza de contacto se opone al movimiento, pero lo favorece a la bajada.

El efecto de estas tras variables fundamentales puede experimentarse en la siguiente animación, que constituye un modelo cinetoestático del problema (la velocidad de la leva es constante, es decir, supone que la fuerza de contacto no afecta al movimiento de la leva).

Engranajes

Generalidades y Nociones Históricas

Los engranajes y las transmisiones de engranajes están presentes en muchas de las máquinas que se pueden hallar tanto en el mundo industrial como en el doméstico. Los engranajes promueven el movimiento de las ruedas y hélices de los medios de transporte, ya sea por tierra, mar o aire.

Sin embargo, la tecnología asociada a los engranajes no es, en absoluto, una cuestión novedosa. Antes bien, para buscar su origen debemos de remontarnos, por lo menos hasta a la Grecia de la antigüedad. Así, hasta hace no mucho, se decía que la primera referencia a los engranajes correspondía a Aristóteles, o a los discípulos de su escuela, y aparecía en el libro "Problemas Mecánicos de Aristóteles" (280 a.C.). Tal apreciación, sin embargo, es incorrecta ya que lo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de fricción. Para una referencia más acertada deberíamos trasladarnos hacia el año 250 a.C., cuando Arquímedes desarrolló un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseños de máquinas de guerra.

Por otro lado, el mecanismo de engranajes más antiguo que se conserva es el mecanismo de Antikythera (Figura 9.1) -descubierto en 1900 en la isla griega de ese nombre en un barco hundido-. El mecanismo, datado alrededor del año 87 D.C., resultó además ser extremadamente complejo (incluía trenes de engranajes epicicloidales) y podría tratarse de una especie de calendario solar y lunar. Con anterioridad a este descubrimiento, se había venido considerando como la primera aplicación conocida de engranajes diferenciales epicicloidales al llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 D.C.): un ingenioso mecanismo de origen chino que mantenía el brazo de una figura humana apuntando siempre hacia el Sur (considerando, eso sí, que en las ruedas del carro no existía deslizamiento). Se muestra un par de engranajes helicoidales tallados en madera y hallados en una tumba real en la ciudad china de Shensi, los cuales fueron datados en la época contemporánea a Jesucristo, específicamente 50 DC. Tales engranajes tienen 24 dientes con un diámetro de 15 mm y un ancho de 10 mm

Posteriormente, la tecnología de los engranajes apenas sufrió avances hasta llegar a los siglos XI-XIII con el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronomía. Poco tiempo después esta tecnología se utilizó en Europa para el desarrollo de sofisticados relojes, en muchos casos destinados a catedrales, abadías y especialmente a monasterios de congregaciones religiosas; únicos lugares donde se generaba conocimiento antes de la creación de las universidades europeas.

Un siglo más tarde, entre el siglo XV y XVII se desarrollan las primeras teorías de engrane y las matemáticas de los perfiles de los dientes de los engranajes, especialmente los perfiles cicloides debidos a Desargues y los perfiles de evolvente debidos La Hire. Luego con la revolución industrial la ciencia y tecnología de los engranajes alcanza su máximo esplendor. A partir de este momento, la aparición de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas aplicaciones para los engranajes, y con la llegada del automóvil -por ejemplo- la preocupación por una mayor precisión y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria.

Actualmente, los métodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajes han avanzado considerablemente, por ejemplo, las aplicaciones aeronáuticas en las que se utilizan engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de gran velocidad y que a su vez deben soportar cargas importantes. Por otro lado el avance conjunto de la interrelación de técnicas experimentales y computacionales complejas (Métodos de Elementos Finitos, por citar un caso), hace posible la evaluación detallada de casi todo tipo de fenómeno asociado a los engranajes.


Funcionamiento

Los engranajes tienen la función de transmitir una rotación entre dos ejes con una relación de velocidades angulares constante. Así, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas o Engrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecánica entre dos ejes mediante contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de los ejes.

Se denomina "Relación de Transmisión" al cociente entre la velocidad angular de salida ω2 (velocidad de la rueda conducida) y la de entrada ω1 (velocidad de la rueda conductora):

i=ω2/ω1.

Dicha relación puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- o signo negativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relación de transmisión es mayor que 1 (i>1) se supondrá el empleo de un mecanismo multiplicador, y si es menor que 1 (i<1) style="font-weight: bold;">


Clasificación

Los engranajes pueden clasificarse de diferentes maneras, a saber: 1) Según la distribución espacial de los ejes de rotación 2) Según la forma de dentado 3) Según la curva generatriz de diente

Una forma común de clasificar a los engranajes es a partir de la 1), es decir según la distribución espacial de los ejes de rotación, también denominados axoides. En la Figura 9.4 se puede apreciar un esquema muy general de distribución de axoides de rotación y sus respectivas direcciones. Dadas las direcciones X1 y X2 se puede trazar el vector opuesto a ω1, o sea –ω1 de manera que el sistema quede trabado con un movimiento resultante ω2-ω1, cuyo eje instantáneo de rotación y deslizamiento dará el tipo de movimiento entre los dos ejes. Así pues, según que los ejes sean paralelos o se corten o se crucen corresponderán a las siguientes subclases de engranajes Cilíndricos, Cónicos o Hiperbólicos, respectivamente.

Engranajes Cilíndricos:
- De Dientes Rectos Exteriores
- De Dientes Rectos Interiores
- De Dientes Helicoidales Exteriores
- De Dientes Helicoidales Interiores
- De Dientes Rectos con cremallera



Engranajes Cónicos
- De dientes Rectos
- De dientes Helicoidales


Engranajes Hiperbólicos
- Sin Fin-Corona
- Hipoidales
- De dientes helicoidales y ejes cruzados


Engranajes No circulares

Ruedas dentadas para fines específicos similares a los de las levas o los de ciertos mecanismos muestra a su vez lo económicamente funcional y atractivo de utilizar varias etapas diferentes para incrementar la velocidad, en vez de utilizar un solo par de engranajes para cumplir el mismo cometido. Las características más fáciles de ver son: a) Aspecto compacto y sólido del cuerpo: dado que los ejes son más bien cortos y simplemente apoyados y los engranajes se ubican muy cercanos a los cojinetes para evitar deflexiones excesivas. b) Robusteza en aumento desde la entrada de par motor a la salida del par motor Con el objeto de mostrar las características operativas más importantes de los engranajes, desde los principios de funcionamiento hasta consideraciones de seguridad y control se emplearán preferentemente configuraciones de engranajes de dientes rectas por poseer mayor simplicidad constructiva. El conocimiento de este tipo de engranaje es fundamental para comprender el funcionamiento de los pares de engranajes con mayor complejidad geométrica, lo cual incluye a los engranajes cilíndricos de dientes helicoidales, que son más preferidos que los de dientes rectos por ser operativamente más efectivos, compactos y permiten mayores velocidades. Aun así, los lineamientos generales del funcionamiento de los engranajes de rientes rectos son plenamente útiles en diferentes escalas de potencia y tamaño. En definitiva, sea en escala micro o macro, la mecánica de los engranajes se rige por las mismas expresiones analíticas.


La Ley de Engrane, acción conjugada y obtención de perfiles conjugados

Los dientes de los engranajes para transmitir el movimiento de rotación, actúan conectados de modo semejante a las levas, siguiendo un patrón o pista de rodadura definido. Cuando los perfiles de los dientes (o levas) se diseñan para mantener una relación de velocidades angulares constante, se dice que poseen "Acción Conjugada". En consecuencia los perfiles de dientes de engranajes que ostenten acción conjugada, se denominarán “perfiles conjugados”.

En términos generales, cuando una superficie hipotética empuja a otra (, el punto de contacto "c" es aquél donde las superficies son tangentes entre sí. En estas circunstancias las fuerzas de acción-reacción están dirigidas en todo momento a lo largo de la normal común "ab" a ambas superficies. Tal recta se denomina "Línea de Acción" y cortará a la línea de centros "O1O2" en un punto P llamado "Punto Primitivo". En los mecanismos de contacto directo, en los cuales se produce contacto entre superficies que deslizan y/o ruedan, la relación de velocidades angulares es inversamente proporcional a la relación de segmentos que determina el "punto primitivo" sobre la línea de centros (la demostración se apoya en el teorema de Aronhold-Kennedy), o sea:

O1P1/O2P2=r1/r2=ω1/ω2

O1P y O2P se denominan "Radios Primitivos" y a las circunferencias trazadas desde O1 y O2 con esos radios "Circunferencias Primitivas". En consecuencia, para que la relación de transmisión se mantenga constante, el punto P deberá permanecer fijo: la línea de acción, para cada punto de contacto, deberá pasar siempre por P. La ley de engrane basada en el análisis de la expresión se puede enunciar como sigue: "La relación de transmisión entre dos perfiles se mantendrá constante, siempre y cuando la normal a los perfiles en el punto de contacto pase en todo instante por un punto fijo de la línea de centros." Como se ha mencionado anteriormente los perfiles que verifican la ley de engrane constante, son denominados perfiles conjugados. Si se tiene un perfil cualquiera η1 que gira alrededor de O1, siempre se puede calcular un perfil η2 que girando alrededor de O2 y en contacto con η1 dé lugar a una relación de transmisión constante i = cte. es decir, tal que η2 sea el perfil conjugado de η1. El lugar geométrico de los puntos que coinciden en cada instante con el punto de contacto entre ambos perfiles o superficies se le denomina "Línea de Engrane". El ángulo α que forma la normal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la línea de centros se denomina "Ángulo de Presión". El ángulo α determina, por tanto, la dirección en la que tiene lugar la transmisión de potencia entre ambos perfiles. Si este ángulo varía, la dirección de transmisión de potencia varía y esto es algo que, desde el punto de vista dinámico, puede resultar muy perjudicial. Lo ideal sería poder obtener una "línea de engrane" que fuese una línea recta (con lo que el ángulo de presión se mantendría constante). Las superficies o perfiles conjugados gozan de las siguientes propiedades a) Si η2 es el perfil conjugado de η1, se verifica la inversa, es decir que η1 es el perfil conjugado de η2. b) Si η2 es el perfil conjugado de η1 y η3 es el perfil conjugado de η2, entonces η3 y η1 son el mismo perfil. c) Si se fija un perfil conjugado η1 a una circunferencia ruleta de radio r1 y se hace rodar sobre una circunferencia base de radio r2 se obtendrá una serie de posiciones sucesivas del perfil η1 según se aprecia en la Figura 9.10, de manera que la curva envolvente del perfil η1 en todas esas posiciones dará el perfil conjugado. d) La recta normal a dos perfiles conjugados pasa siempre por el punto primitivo P.


La esencia en la mecánica y cinemática de los perfiles conjugados, no es estrictamente privativa de los perfiles de dientes de engranajes, dado que aquella se presenta en muchas otras aplicaciones no necesariamente emparentadas con los engranajes. Entre otras aplicaciones importantes de las superficies conjugadas se encuentran, los impulsores de bombas de lóbulo


El perfil de envolvente

Una de las cosas que interesa en los engranajes es encontrar perfiles conjugados que, por una parte, satisfagan la ley general de engrane y, por otra, sean fáciles de construir. Este tipo de perfil es el que se emplea en la mayor parte de los engranes.
El perfil de envolvente o una curva de envolvente se puede definir de la siguiente manera.

- La Evolvente es una curva tal que el lugar geométrico de los centros de curvatura de todos sus puntos forma una circunferencia. Así pues la curva de envolvente se obtiene a partir del punto A0, desarrollando sobre las tangentes sucesivas A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, etc., las longitudes de arco de A1A0, A2A0, A3A0, A4A0, etc. con lo cual se obtienen los segmentos A1C1, A2C2, A3C3, A4C4, etc. uniendo los puetos Ci se obtiene la curva envolvente deseada.

Entre las propiedades de los perfiles de evolvente se pueden destacar:
- La línea de engrane es una recta: Llamábamos línea de engrane al lugar geométrico de los puntos de contacto entre perfiles conjugados. En el caso de los perfiles de evolvente la línea de engrane es AB: la tangente común a las circunferencias base de ambos perfiles . La normal a los perfiles de evolvente, que coincide con la línea de engrane, da la dirección de transmisión de los esfuerzos El ángulo α que forma la línea de engrane con la horizontal, se denomina ángulo de presión. El ángulo de presión en este caso es constante, lo que resulta beneficioso desde el punto de vista dinámico.

- Las superficies pueden engranar en cualquier distancia entre centros: Así pues, si se modifica la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con distinto ángulo de presión α' y distintos radios primitivos (r1i y r2i). Esto se debe a que la relación de velocidades depende sólo de los radios de la circunferencia base (ρ1 y ρ2), y no de la distancia entre centros.

- Los perfiles de evolvente son fáciles de generar: Recurriendo a la fórmula de Euler-Savary se puede comprobar que todos los perfiles de evolvente son conjugados entre sí, porque todos son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil con un perfil solidario que es una línea recta. Este plano se apoya, a su vez, sobre una base que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje. De esta forma, si se hace evolucionar un plano móvil, en el que se encuentra una curva Cm de centro de curvatura Om. Su conjugada en el plano fijo es Cf, de centro de curvatura Of. El punto de contacto entre ambas es A.


En términos generales cuando se debe decidir por seleccionar el tipo de perfil del diente, se puede hacer arbitrariamente. En tal caso, el perfil del diente de la otra rueda se calculará mediante el método general de determinación del perfil conjugado de uno dado. Las ventajas asociadas al perfil de evolvente que acaban de verse dan lugar a que éste sea el perfil mayormente extendido; no obstante, pueden encontrarse también otros tipos de perfiles, aunque en menor medida y en la mayor parte de los casos orientados a aplicaciones específicas.

Engranajes Cicloidales

La cabeza del diente está trazada por una epicicloide y el pie por una hipocicloide. Tuvieron una gran difusión hace aproximadamente un siglo, en virtud de la facilidad para reproducirlos por fundición. No obstante, en la actualidad sólo se emplean en raras ocasiones para mecanismos especiales. En estos engranajes el perfil convexo contacta con el cóncavo. Lo cual hace que la presión específica en este tipo de contacto sea menor que cuando están en contacto dos perfiles convexos. Sin embargo, esto mismo los hace ser muy sensibles a las variaciones en la distancia entre ejes, requiriendo de una gran precisión. Al mismo tiempo, la velocidad de deslizamiento que tiene lugar entre dos dientes de este tipo es constante en cada una de las zonas del diente; y en ambos casos es significativamente menor que en el caso de los engranajes de evolvente. Esto da lugar a un menor nivel de desgaste del diente. Una limitación significativa delos perfiles cicloidales reside en que la línea de engrane no resulta ser una línea recta, luego el ángulo de presión varía y en consecuencia varían tanto las magnitudes de las fuerzas de reacción en los cojinetes como las orientaciones de estas reacciones, lo que conduce al aflojamiento de los cojinetes. - Perfiles para engranajes de relojes: Utilizado en mecanismos de relojería y en ciertos aparatos. Son similares a los perfiles cicloidales, pero en ellos la cabeza del diente es una circunferencia y no una epicicloide, mientras que el pie tiene una configuración rectilínea. Sufren poco desgaste y, sobre todo, tienen un funcionamiento muy suave. Los engranajes cilíndricos de dientes rectos tienen su antecedente en las denominadas ruedas de fricción para poder transmitir movimiento entre dos ejes paralelos.



Estas ruedas de fricción aun cuando permitan transmitir cierto par torsor o torque, no siempre es constante debido al deslizamiento que se genera. Aprovechando las características de los perfiles conjugados se puede hacer lo mismo dando lugar a los engranajes.


Nomenclatura.

Circunferencia Primitiva (R): Llamada también circunferencia de paso y corresponde a la homónima circunferencia de contacto de las ruedas de fricción.

Circunferencia Exterior (Re): Es denominada también circunferencia de addendum o circunferencia de cabeza.

Circunferencia inferior (Ri): Es denominada también circunferencia de raíz o de pie o de deddendum.

Ancho de cara: Es la longitud del diente medida axialmente. También se la denomina ancho de faja.

Addendum (a): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio de cabeza.

Deddendum (l): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio inferior.

Paso Circular (p): es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos, medidos sobre la circunferencia primitiva o de paso

Paso angular (pa): es el ángulo entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos.

Ancho de espacio (h ): es el espacio entre dos dientes consecutivos, medido en la circunferencia de paso.

Juego (j): es la diferencia entre el huelgo de un diente y el espesor del engrana junto con aquel.

Holgura (c): es la diferencia entre el deddendum de un diente y el addendum del que engrana con aquel.

Altura de diente (hT): es la distancia radial entre las circunferencias exterior e inferior.

Espesor de diente (e): es el espesor medido sobre la circunferencia de paso.

Número de dientes (Z): es la cantidad de dientes que tiene el engranaje

Módulo (m ): es el cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el número de dientes.

Paso diametral (pd): es el cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el número de dientes. El valor numérico de módulo determina el tamaño del diente, ya que el paso es el mismo sin importar si los dientes se colocan en una rueda pequeña o en una rueda grande. Nótese que a mayor "m", mayor será el diente y a mayor pd menor tamaño de diente. Por otro lado, y con respecto a otro tipo de pasos (pc, pa) el módulo tiene la ventaja de no depender del número π. En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entre sí, se deben cumplir las siguientes condiciones:

- Tener el mismo módulo o mismo paso circular o diametral.
- Igual ángulo de presión de generación.
- Presentar addendum y dedendum normalizados.
- Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia primitiva.

Existen diferentes criterios y formas de normalización de los perfiles de dientes, según las normas técnicas de cada país: - DIN de Alemania - AFNOR de Francia - UNE de España - AGMA de Estados Unidos de Norteamérica Sin embargo la más conocida y empleada es la última.

Construcción de engranajes rectos

Los procedimientos más comunes para el tallado de ruedas dentadas se dividen en dos grandes grupos:
- Procedimientos de reproducción.
- Procedimientos de generación o rodadura.

Procedimientos de Reproducción

En los procedimientos de mecanizado o tallado de ruedas dentadas por reproducción, el borde cortante de la herramienta es una copia exacta de la rueda a tallar o de cierta parte de ella (por ejemplo, del hueco entre dientes contiguos). Estos métodos exigen de un número elevado de herramientas, ya que incluso para fabricar ruedas dentadas con el mismo módulo es necesario contar con una herramienta para cada número de dientes puesto que el hueco interdental varía.
Se pueden distinguir los siguientes procedimientos:

-Fundición: Se puede considerar como herramienta el molde que se llena con el material colado. Este molde es una copia exacta de la futura rueda, si no se considera el sobreespesor que va asociado a la fundición.

-Procesos de metalurgia de polvos o pulvimetalurgia.

-Estampado: La matriz que sirve como herramienta cortante tiene la forma de la futura rueda. Es un procedimiento empleado generalmente con ruedas delgadas.

-Por corte con herramientas: La herramienta tiene la forma exacta del hueco interdental. Cabe distinguir dos procedimientos según la máquina herramienta utilizada.

- Cepillado: La herramienta en la sección perpendicular a la dirección de su movimiento tiene perfiles cortantes que se corresponden perfectamente con el contorno del hueco interdental del engranaje a tallar.

-Fresado: se utiliza una herramienta denominada fresa estandarizada o “fresa de módulo" cuyos dientes tienen perfiles idénticos a la forma del hueco interdental que se pretende. Al final de cada operación de fresado la fresa vuelve a su posición inicial y la pieza bruta gira un ángulo igual a 1/Z de vuelta para poder fresar el siguiente hueco. Ver Figura 9.20


Procedimientos de Generación

Entre los procedimientos de generación de ruedas dentadas se pueden hallar:
- Generación por cremallera: para esto se aprovecha una propiedad del perfil de evolvente, según la cual todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil, que apoya sobre una base que es la circunferencia primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una línea recta. Así se pueden generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la línea primitiva de ésta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en varios planos rectos unidos rígidamente, de modo que pueden generarse simultáneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano d. Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se gira la pieza que se está tallando un ángulo determinado y se repite el proceso.

- Generación por mortajadora: es un procedimiento análogo al de la cremallera, pero la mortajadora además del giro comunica un movimiento complementario de vaivén axial. Después de cada operación de corte la rueda-herramienta y la pieza bruta giran unos ángulos que mantienen la misma relación que las velocidades angulares.
Razón de contacto
Para garantizar un funcionamiento continuo y suave, cuando un par de dientes termina de hacer contacto, debe haber un par sucesivo de dientes que entren en contacto inmediatamente o que ya estén en contacto. Un objetivo en el diseño de ruedas dentadas es tener la mayor superposición como sea posible. En la Figura 9.23 se muestran los elementos necesarios para poder definir la relación de contacto, la cual es una medida de la superposición que se puede obtener en un dentado determinado. La razón de contacto es un cociente entre la longitud de la línea de acción al paso de la circunferencia de base.

Por observaciones experimentales, las normas AGMA sugieren el diseño de engranajes que tengan como mínimo una relación de contacto Cr = 1.2. Una razón de contacto entre 1 y 2 significa que en algún momento se encuentran dos pares de dientes en contacto. Mientras que relaciones de contacto mayores que 2 o que 3 implica que habrá en algún momento tres o cuatro pares de dientes en contacto simultáneo. La razón de contacto ofrece una idea del número de dientes que engranan en cada instante y nunca podrá ser menor que uno. Por ejemplo, una relación de contacto de 1.6 sugiere que el 60% del tiempo hay dos pares de dientes en contacto simultáneamente, mientras que el 40% restante sólo hay uno.
Asociado a la razón de contacto, se halla el concepto de ángulo de conducción o ángulo de contacto, el cual es el ángulo descripto desde el punto de primer contacto entre un par de dientes hasta que los dientes pierden el contacto.


Interferencia

Se llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a la interferencia de la propia materia. Pueden distinguirse dos tipos:
- Interferencia de Tallado o Penetración.
- Interferencia de Funcionamiento.
La “Interferencia de tallado o penetración” tiene lugar cuando la cremallera de generación corta material en puntos situados en el interior de la circunferencia base, es decir, más allá de donde termina el perfil de evolvente. Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y provoca un debilitamiento en la base del diente que afecta negativamente la resistencia del mismo, como se puede ver en la Figura 9.24.a. El tallado de un engranaje con cremallera se realiza haciendo rodar la "línea primitiva de la cremallera" (que tiene circunferencia primitiva de R = ∞) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. Así los dientes de la rueda se tallan como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (envolventes de sus sucesivas posiciones). S
La “Interferencia por Funcionamiento” tiene lugar cuando un diente de una de las ruedas entra en contacto con el de la otra en un punto que "no está tallado" como función evolvente, tanto en el caso de que se pretenda engranar fuera de "segmento de engrane", como en el que se pretenda engranar en un punto de este segmento que no esté tallado como perfil de evolvente.


Formas analíticas de los perfiles de envolvente

Aplicaciones

Se puede obtener una forma analítica para hallar el perfil de envolvente, con el cual luego se puede tiene una forma para medir el espesor del diente para diferentes radios, conociendo el espesor del diente en la circunferencia de paso. Normalmente, el espesor del diente conocido es el situado sobre la circunferencia primitiva (A está sobre la circunferencia primitiva). Para engranes tallados a cero (sin corrección) se verifica que eA = pc/2 = m π/2. La expresión (9.29) puede emplearse para evaluar analíticamente la corrección de dentado. Los dientes de engranajes vistos en los apartados anteriores corresponden a engranajes normales o tallados a cero, es decir, tallados de forma que la circunferencia primitiva de tallado (la que rueda sobre la línea primitiva del piñón o de la cremallera) tiene igual espesor de diente que de hueco. Además del interés que se puede tener en obtener una relación de contacto razonable y en mejorar la resistencia mecánica de los dientes de las ruedas, estos engranajes tienen dos importantes limitaciones: - Un Número de dientes mínimo, por debajo del cual se produce interferencia de tallado, según la - La distancia entre centros viene impuesta por la normalización de los módulos y los números de dientes, pues: La solución a estos problemas se obtiene con los engranajes corregidos. La idea consiste en tomar como línea primitiva de la cremallera de tallado -en el caso de generación por cremallera- una línea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco, según se puede apreciar en la Figura 9.27. Donde ϕ es el ángulo de presión. De esta manera la cremallera es desplazada una cantidad “m·x”, donde “x” es denominado factor de corrección y “m” el módulo del engranaje. Así una corrección positiva, evitará la interferencia de tallado, nótese por otro lado la Figura 9.28 con las diferentes situaciones de interferencia. En determinadas circunstancias es necesario plantear el problema de interferencia de tallado de modo inverso, es decir conocido el número de dientes a tallar, calcular cuál será el factor de corrección mínimo (x) para que no exista interferencia de tallado. En virtud de lo visto en los apartados anteriores, tal solución es viable desde un punto de vista analítico, el cual redunda en importantes conclusiones de índole más práctica en el tallado de engranajes por cremallera.

Ahora bien, en cuanto a la distancia entre centros, considérense dos ruedas de radios primitivos R1 y R2 maquinadas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x1 y x2, respectivamente. Si x1 y x2 son positivos, las ruedas no engranarán a la distancia entre centros igual a la suma (R1 + R2), porque ha aumentado el espesor de los dientes en las circunferencias primitivas, y cada diente no cabe en el hueco de la otra rueda. Análogamente, si ambas son negativas, existirá gran holgura entre el espesor del diente y el hueco sobre la circunferencia primitiva. En cualquier caso, las ruedas engranarán a otra distancia entre ejes y los radios de las circunferencias primitivas de tallado no coincidirán con los de las circunferencias primitivas de funcionamiento. Estos tendrán los siguientes valores R1v y R2v, formando en consecuencia un nuevo ángulo de presión efectivo a ϕv.

Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales

Nociones Básicas

Los engranajes rectos tienen la característica de que cada diente empieza a engranar bruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los pequeños errores geométricos inevitables en la fabricación de los dientes se traducen en pequeños choques al empezar el engrane, acompañados del correspondiente ruido. Además, al ser variable con el tiempo el número de dientes en contacto (por ejemplo, para una relación de contacto del 1,7), ello se traduce en variaciones de carga súbitas sobre los dientes (no es lo mismo que un diente soporte toda la carga que ésta sea repartida entre dos); es decir, variaciones bruscas de la fuerza transmitida a cada diente. Debido a esto, los engranajes cilíndricos rectos no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (producen vibraciones, ruidos, etc). Una primera aproximación para solucionar este problema podría consistir en tallar engranajes rectos desplazados, de modo que los saltos súbitos se suavicen. Es lo que se conoce como engranajes cilíndricos escalonados y su funcionamiento es tanto más suave cuanto mayor es el número de escalones en los que es tallado el engranaje. La idea de los engranajes helicoidales surge así como el paso al límite de los engranajes escalonados, en donde los saltos son tan pequeños (infinitesimales) que hay continuidad. En ellos, el engrane de dos dientes empieza y termina de forma gradual, lo que se traduce en una marcha más “suave” (menos ruido y vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permiten obtener, con cualquier número de dientes, una relación de contacto tan grande como se quiera. En un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales, una sección formada por un plano normal al eje de giro presenta un perfil análogo al de un engranaje de dientes rectos (perfil de evolvente, ángulo de presión, línea de engrane, etc). Este es el denominado perfil frontal de la rueda, situado sobre el plano frontal o aparente. Los engranajes helicoidales tienen dos pasos relacionados, uno en el plano de rotación y otro en el plano normal al diente. En los engranajes de dientes rectos, los pasos se miden solo en el plano de rotación. En los engranajes de dientes helicoidales existe además un paso axial. E - pc es el paso circunferencial - pcn es el paso normal - pa es el paso axial - ψ es el ángulo de hélice En los engranajes helicoidales se pueden caracterizar tres ángulos diferentes, que influyen en la definición geométrica y distribución de las fuerzas. Estos ángulos son: - El ángulo de hélice ψ - El ángulo de presión en la dirección normal φn - El ángulo de presión en la dirección tangencial φt. En el caso de que ψ = 0 (engranaje de dientes rectos), el radio de curvatura es igual a R = D/2. Pero si se va aumentando paulatinamente el valor del ángulo ψ, hasta llegar a ψ = 90°, se tendrá que el radio de curvatura es INFINITO. El radio de curvatura R del cilindro intersectado por el plano oblicuo, es el radio de paso aparente de un diente de engranaje helicoidal cuando se ve en la dirección de los elementos del diente.


Engranajes cónicos

Nociones Básicas

Se fabrican a partir de un tronco de cono, formándose los dientes por fresado de su superficie exterior. Estos dientes pueden ser rectos, helicoidales o curvos. Esta familia de engranajes soluciona la transmisión entre ejes que se cortan y que se cruzan. Los datos de cálculos de estos engranajes están en prontuarios específicos de mecanizado.

Engranajes cónicos de dientes rectos

Efectúan la transmisión de movimiento de ejes que se cortan en un mismo plano, generalmente en ángulo recto, por medio de superficies cónicas dentadas. Los dientes convergen en el punto de intersección de los ejes. Son utilizados para efectuar reducción de velocidad con ejes en 90°. Estos engranajes generan más ruido que los engranajes cónicos helicoidales. Se utilizan en transmisiones antiguas y lentas. En la actualidad se usan muy poco.

Engranaje cónico helicoidal

Se utilizan para reducir la velocidad en un eje de 90°. La diferencia con el cónico recto es que posee una mayor superficie de contacto. Es de un funcionamiento relativamente silencioso. Además pueden transmitir el movimiento de ejes que se corten. Los datos constructivos de estos engranajes se encuentran en prontuarios técnicos de mecanizado. Se mecanizan en fresadoras especiales.

Engranaje cónico hipoide.

Un engranaje hipoide es un grupo de engranajes cónicos helicoidales formados por un piñón reductor de pocos dientes y una rueda de muchos dientes, que se instala principalmente en los vehículos industriales que tienen la tracción en los ejes traseros. Tiene la ventaja de ser muy adecuado para las carrocerías de tipo bajo, ganando así mucha estabilidad el vehículo. Por otra parte la disposición helicoidal del dentado permite un mayor contacto de los dientes del piñón con los de la corona, obteniéndose mayor robustez en la transmisión. Su mecanizado es muy complicado y se utilizan para ello máquinas talladoras especiales